Um número irracional é um número real que não pode ser representado como uma fração de dois números inteiros. Em outras palavras, é um número que não pode ser escrito na forma \(a/b\), onde \(a\) e \(b\) são inteiros e \(b\) não é zero.
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Os números irracionais são frequentemente representados por aproximações decimais, mas essas aproximações nunca são exatas. Por exemplo, o número \(\pi\) é um número irracional, frequentemente aproximado por 3,14. No entanto, esta aproximação não é exata, e o valor real de \(\pi\) é um número infinito de dígitos.
Os números irracionais são encontrados em muitos lugares na matemática. Por exemplo, a raiz quadrada de 2 é um número irracional, assim como o número \(e\). Os números irracionais também são usados em muitas aplicações do mundo real, como na física, na engenharia e na informática.
Propriedades dos números irracionais
Os números irracionais têm várias propriedades interessantes. Por exemplo, eles são:
- Não podem ser representados como uma fração de dois números inteiros.
- São infinitos e não recorrentes.
- Não podem ser colocados em ordem com os números racionais.
- São densos nos números reais.
Construção dos números irracionais
Existem várias maneiras de construir os números irracionais. Uma maneira é usar sequências infinitas. Por exemplo, o número \(\pi\) pode ser construído usando a seguinte sequência infinita:
$$\pi = 3 + \frac{1}{7} + \frac{1}{15} + \frac{1}{31} + \cdots$$
Outra maneira de construir os números irracionais é usar cortes de Dedekind. Um corte de Dedekind é uma partição dos números racionais em dois conjuntos, \(A\) e \(B\), de modo que todas as condições a seguir sejam satisfeitas:
- \(A\) não está vazio e \(B\) não é vazio.
- Não há nenhum número racional que esteja em ambos \(A\) e \(B\).
- Se \(a\) está em \(A\) e \(b\) está em \(B\), então \(a < b\).
Cada corte de Dedekind corresponde a um único número irracional. Por exemplo, o corte de Dedekind que consiste em todos os números racionais menores que \(\sqrt{2}\) corresponde ao número irracional \(\sqrt{2}\).
